Theorie der Differentialgleichungen von Ludwig Bieberbach
Theorie der Differentialgleichungen
Vorlesungen aus dem Gesamtgebiet der Gewöhnlichen und der Partiellen Differentialgleichungen, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 6
ISBN/EAN: 9783642672255
Sprache: Deutsch
Umfang: xiii, 399 S.
Einband: kartoniertes Buch
Erschienen am
12.02.2012
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InhaltsangabeErster Abschnitt. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.- I. Kapitel. Elementare Integrationsmethoden.- § 1. Die Trennung der Variablen.- 1. Ein Beispiel.- 2. Die Methode.- 3. Substitutionen, die zur Trennung führen.- 4. Homogene Differentialgleichungen.- 5. Substitutionen, die auf homogene Differentialgleichungen führen.- § 2. Lineare Differentialgleichungen.- 1. Erste Methode.- 2. Zweite Methode.- 3. Die Bernoullische Differentialgleichung.- § 3. Einparametrige Kurvenscharen.- 1. Kurvenscharen.- 2. Differentialgleichungen.- 3. Beispiele.- § 4. Exakte Differentialgleichungen.- 1. Die Methode.- 2. Beispiele.- § 5. Der integrierende Faktor.- 1. Begriffsbestimmung.- 2. Auffindung eines Multiplikators.- 3. Beispiel.- 4. Mehrere Multiplikatoren.- 5. Beispiel.- § 6. Die Clairautsche Differentialgleichung und Verwandtes.- 1. Allgemeine Vorbemerkung.- 2. Die Clairautsche Differentialgleichung.- 3. Singuläres Integral.- 4. Weitere Integralkurven.- 5. Die Lagrangesche Differentialgleichung.- § 7. Ziel und Tragweite der elementaren Integrationsmethoden.- II. Kapitel. Die Methode der sukzessiven Approximationen und verschiedene Anwendungen derselben.- § 1. Das Verfahren der sukzessiven Approximationen.- 1. Existenzsatz.- 2. Bemerkungen.- 3. Integralkurven in Parameterdarstellung.- 4. Systeme.- 5. Zusatz.- § 2. Die graphische Darstellung der Differentialgleichungen.- § 3. Wie beurteilt man die Güte einer Näherung ?.- § 4. Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.- 1. Stetigkeit.- 2. Differenzierbarkeit.- 3. Zusatz.- 4. Bemerkung.- § 5. Die Euler-Cauchysche Polygonmethode.- 1. Die Methode.- 2. Verallgemeinerung des Existenzsatzes.- § 6. Integration durch Potenzreihen.- § 7. Übertragung der Smirsoxschen Regel.- III. Kapitel. Die Liesche Theorie.- § 1. Die Transformationsgruppe und ihre infinitesimalen Transformationen.- 1. Die Transformationen.- 2. Die Gruppe.- 3. Infinitesimale Transformationen.- 4. Invariante Kurvenscharen.- § 2. Die erweiterte Gruppe.- 1. Erweiterte Gruppe.- 2. Differentialgleichungen mit Transformationen in sich.- § 3. Differentialgleichungen mit bekannter Transformationsgruppe oder mit bekannten infinitesimalen Transformationen.- 1. Ermittlung von Multiplikatoren.- 2. Die Liesche Theorie der elementaren Integrationsmethoden.- 3. Beispiele.- 4. Eine allgemeine Substitutionsmethode.- 5. Beispiel.- § 4. Projektive Transformationen.- 1. Affine Gruppe.- 2. Projektive Gruppe.- IV. Kapitel. Diskussion des Verlaufs der Integralkurven.- § 1. Elementare Betrachtungen.- § 2. Singuläre Punkte.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Typische Fälle.- § 3. Die homogene Differentialgleichung $$y' = \frac{{Cx + Dy}}{{Ax + By}}$$.- § 4. Allgemeine Sätze über den Verlauf der Integralkurven im reellen Gebiet.- 1. Vektorfeld.- 2. Feld von Lösungskurven.- 3. Verhalten der Lösungen für große Parameterwerte.- 4. Geschlossene Integralkurven.- 5. Periodische Lösungen und Spiralen.- 6. Beispiel.- 7. Änderung der Differentialgleichung.- 8. Existenz singulärer Punkte.- 9. Verlauf der Lösungen in der Nähe eines singulären Punktes.- 10. Bemerkungen.- 11. Anwendung auf den Poincaréschen Wiederkehrsatz.- § 5. Die Differentialgleichungen $${x^m}\frac{{dy}}{{dx}} = ay + bx + \beta \left( {x,y} \right)$$.- § 6. Die Differentialgleichungen $$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{Cx + Dy + \delta \left( {x,y} \right)}}{{Ax + By + \varepsilon \left( {x,y} \right)}}$$.- 1. Fragestellung.- 2. ?1, ?2 reell und von gleichem Vorzeichen.- 3. ?1, ?2 konjugiert imaginär.- 4. Knoten und Strudel.- 5. Ein Satz von Bendixson.- 6. ?1, ?2 konjugiert imaginär.- 7. ?1, ?2 reell und von verschiedenem Vorzeichen.- 8. Zusammenfassung.- 9. Wirbel und Strudel.- 10. Methode von Poincaré.- 11. Methode von Bendixson.- 12. Zusatz.- 13. Bemerkungen.- § 7. Über die Verteilung der singulären Stellen.- 1. Übergang zu Kurven auf Flächen.- 2. Der Index.- 3. Anwendung des Eulerschen Polyedersatzes.- § 8. Singuläre Lösungen.- 1. Diskriminantenkurve.- 2. Beispiele.- 3. Singuläre Lösungen.- 4. Dis