Theorie der Differentialgleichungen von Ludwig Bieberbach

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

InhaltsangabeErster Abschnitt. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.- I. Kapitel. Elementare Integrationsmethoden.- § 1. Die Trennung der Variablen.- 1. Ein Beispiel.- 2. Die Methode.- 3. Substitutionen, die zur Trennung führen.- 4. Homogene Differentialgleichungen.- 5. Substitutionen, die auf homogene Differentialgleichungen führen.- § 2. Lineare Differentialgleichungen.- 1. Erste Methode.- 2. Zweite Methode.- 3. Die Bernoullische Differentialgleichung.- § 3. Einparametrige Kurvenscharen.- 1. Kurvenscharen.- 2. Differentialgleichungen.- 3. Beispiele.- § 4. Exakte Differentialgleichungen.- 1. Die Methode.- 2. Beispiele.- § 5. Der integrierende Faktor.- 1. Begriffsbestimmung.- 2. Auffindung eines Multiplikators.- 3. Beispiel.- 4. Mehrere Multiplikatoren.- 5. Beispiel.- § 6. Die Clairautsche Differentialgleichung und Verwandtes.- 1. Allgemeine Vorbemerkung.- 2. Die Clairautsche Differentialgleichung.- 3. Singuläres Integral.- 4. Weitere Integralkurven.- 5. Die Lagrangesche Differentialgleichung.- § 7. Ziel und Tragweite der elementaren Integrationsmethoden.- II. Kapitel. Die Methode der sukzessiven Approximationen und verschiedene Anwendungen derselben.- § 1. Das Verfahren der sukzessiven Approximationen.- 1. Existenzsatz.- 2. Bemerkungen.- 3. Integralkurven in Parameterdarstellung.- 4. Systeme.- 5. Zusatz.- § 2. Die graphische Darstellung der Differentialgleichungen.- § 3. Wie beurteilt man die Güte einer Näherung ?.- § 4. Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.- 1. Stetigkeit.- 2. Differenzierbarkeit.- 3. Zusatz.- 4. Bemerkung.- § 5. Die Euler-Cauchysche Polygonmethode.- 1. Die Methode.- 2. Verallgemeinerung des Existenzsatzes.- § 6. Integration durch Potenzreihen.- § 7. Übertragung der Smirsoxschen Regel.- III. Kapitel. Die Liesche Theorie.- § 1. Die Transformationsgruppe und ihre infinitesimalen Transformationen.- 1. Die Transformationen.- 2. Die Gruppe.- 3. Infinitesimale Transformationen.- 4. Invariante Kurvenscharen.- § 2. Die erweiterte Gruppe.- 1. Erweiterte Gruppe.- 2. Differentialgleichungen mit Transformationen in sich.- § 3. Differentialgleichungen mit bekannter Transformationsgruppe oder mit bekannten infinitesimalen Transformationen.- 1. Ermittlung von Multiplikatoren.- 2. Die Liesche Theorie der elementaren Integrationsmethoden.- 3. Beispiele.- 4. Eine allgemeine Substitutionsmethode.- 5. Beispiel.- § 4. Projektive Transformationen.- 1. Affine Gruppe.- 2. Projektive Gruppe.- IV. Kapitel. Diskussion des Verlaufs der Integralkurven.- § 1. Elementare Betrachtungen.- § 2. Singuläre Punkte.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Typische Fälle.- § 3. Die homogene Differentialgleichung $$y' = \frac{{Cx + Dy}}{{Ax + By}}$$.- § 4. Allgemeine Sätze über den Verlauf der Integralkurven im reellen Gebiet.- 1. Vektorfeld.- 2. Feld von Lösungskurven.- 3. Verhalten der Lösungen für große Parameterwerte.- 4. Geschlossene Integralkurven.- 5. Periodische Lösungen und Spiralen.- 6. Beispiel.- 7. Änderung der Differentialgleichung.- 8. Existenz singulärer Punkte.- 9. Verlauf der Lösungen in der Nähe eines singulären Punktes.- 10. Bemerkungen.- 11. Anwendung auf den Poincaréschen Wiederkehrsatz.- § 5. Die Differentialgleichungen $${x^m}\frac{{dy}}{{dx}} = ay + bx + \beta \left( {x,y} \right)$$.- § 6. Die Differentialgleichungen $$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{Cx + Dy + \delta \left( {x,y} \right)}}{{Ax + By + \varepsilon \left( {x,y} \right)}}$$.- 1. Fragestellung.- 2. ?1, ?2 reell und von gleichem Vorzeichen.- 3. ?1, ?2 konjugiert imaginär.- 4. Knoten und Strudel.- 5. Ein Satz von Bendixson.- 6. ?1, ?2 konjugiert imaginär.- 7. ?1, ?2 reell und von verschiedenem Vorzeichen.- 8. Zusammenfassung.- 9. Wirbel und Strudel.- 10. Methode von Poincaré.- 11. Methode von Bendixson.- 12. Zusatz.- 13. Bemerkungen.- § 7. Über die Verteilung der singulären Stellen.- 1. Übergang zu Kurven auf Flächen.- 2. Der Index.- 3. Anwendung des Eulerschen Polyedersatzes.- § 8. Singuläre Lösungen.- 1. Diskriminantenkurve.- 2. Beispiele.- 3. Singuläre Lösungen.- 4. Dis